Какое равенство называется тождеством – . . ., ,

Тождества: понятие тождества и примеры

 

Рассмотрим две равенства:

1. a12*a3 = a7*a8

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.

2. a12 : a3 = a2*a7.

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами.

Понятие тождества

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.

Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

5. a*b = b*a;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

8. a + 0 = a;

9. a*0 = 0;

10. a*1 = a;

11. a*(-1) = -a.

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными. Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:

1. (a2)4 и a8;

2. a*b*(-a^2*b) и –a3*b2;

3. ((x3*x8)/x) и x10.

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.

Примеры тождеств

Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

4. a-b = b-a.

Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.

А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:

5 — 2 = 2 — 5;

3 = -3.

Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Свойства действий над числами: сложение, вычитание, умножение и деление — примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspОдночлен и его стандартный вид: понятие и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Тождество — Большая советская энциклопедия

То́ждество

Основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.

В математике Т. — это Уравнение, которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Т. — это Предикат, изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у», «х то же самое, что и y»), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Т. — это Отношение, основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Т. дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Т., второй — основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Т. связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Т. восходит к известному положению, что Суждение о тождественности предметов и Т. как понятие — это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Т. исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, — путём предположений (гипотез (См. Индукция)) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Т. предметов в точности совпадает с Т. в логическом смысле.

Важность понятия Т. обусловила потребность в специальных теориях Т. Самый распространённый способ построения этих теорий — аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х,

2.

х = уу = х,

3. x = y & y = zx = z,

4. А (х) ⊃ (х = уА (у)),

где А (х) — произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у, а А (х) и А (у) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y.

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Т. В традиционной логике она считалась единственным логическим законом (См. Логический закон) Т., к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Т., основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой — и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Т. Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат — в данном случае равновесие — один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Т. как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте — от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Т., удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Т. Она утверждает, что суперпозиция Т. также есть Т. и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Т. — это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Т.: неразличимость гарантирует только Т. в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Т. как эквивалентности (См. Эквивалентность).

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Т. предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» — по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым — основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ — конгруентных ей «содержательных» аксиом Т. Например, в аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) Цермело — Френкеля — аксиомами:

4.1 zx ⊃ (x = yzy),

4.2 xz ⊃ (x = yyz),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1—3, определяющих Т. как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1—4 относятся к так называемым законам Т. Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Т. не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Т. Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Т. необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новосёлов.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. тождество — Греческое – «тот же, такой же». Старославянское – тъжде (такой, так). Слово образовано от церковнославянского местоимения по принципу русского словообразования и имеет значение «одинаковый, идентичный». Производное: тождественный. Этимологический словарь Семёнова
  2. тождество — ТОЖДЕСТВО — понятие, обычно представленное в естественном языке либо в форме «я (есть) то же, что и Ь >, или «а тождественно Ь», что может быть символизировано как «а = Ь» (такое утверждение обычно называют абсолютным… Энциклопедия эпистемологии и философии науки
  3. тождество — Тождество, тождества, тождества, тождеств, тождеству, тождествам, тождество, тождества, тождеством, тождествами, тождестве, тождествах Грамматический словарь Зализняка
  4. тождество — См. тожде Толковый словарь Даля
  5. тождество — И тожество, -а, ср. 1. Полное сходство, подобие предметов, явлений друг другу или самим себе. Тождество взглядов. Тождество условий. □ Затвердили себе, что май есть май, да и кончено: по закону тожества, говорят, так выходит. А какое тут тожество?… Малый академический словарь
  6. тождество — ТОЖДЕСТВО -а; ср. 1. Полное сходство, подобие предметов, явлений и т.п. Т. взглядов, рассуждений. Т. условий материального благосостояния с предъявляемыми требованиями. Толковый словарь Кузнецова
  7. ТОЖДЕСТВО — ТОЖДЕСТВО — отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли) — рассматриваемыми как «одно и то же»; «предельный» случай отношения равенства. В математике тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. Большой энциклопедический словарь
  8. тождество — тождество I ср. 1. Абсолютное совпадение с кем-либо или с чем-либо как в своей сущности, так и во внешних признаках и проявлениях; одинаковость. 2. Точное соответствие чего-либо чему-либо. II ср. Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него обозначений (в математике). Толковый словарь Ефремовой
  9. тождество — То́ждеств/о. Морфемно-орфографический словарь
  10. тождество — орф. тождество, -а Орфографический словарь Лопатина
  11. ТОЖДЕСТВО — ТОЖДЕСТВО – понятие, обычно представленное в естественном языке либо в форме «а (есть) то же, что и b»или «а тождественно b», что может быть символизировано как «а = b»(такое утверждение обычно называют абсолютным тождеством)… Новая философская энциклопедия
  12. тождество — см. >> сходство Словарь синонимов Абрамова
  13. тождество — Т’ОЖДЕСТВО, см. ТОЖД’ЕСТВЕННОСТЬ. Толковый словарь Ушакова
  14. тождество — сущ., кол-во синонимов: 11 адекватность 18 единство 55 общность 28 одинаковость 32 равенство 25 совпадение 24 сходство 39 термин 18 тождественность 14 тожественность 10 тожество 10 Словарь синонимов русского языка
  15. ТОЖДЕСТВО — ТОЖДЕСТВО — англ. identity; нем. Identitat. 1. В математике — уравнение, справедливое при всех допустимых значениях аргументов. 2. Предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Социологический словарь
  16. тождество — то́ждество то́жество, русск.-цслав. тождьство, тожьство. Образовано по аналогии лат. identitās (: idem «то же») от цслав., ст.-слав. тожде, тоже ср. р. от тъжде ὁ αὑτός (Клоц., Супр.). См. то. Этимологический словарь Макса Фасмера
  17. ТОЖДЕСТВО — ТОЖДЕСТВО И РАЗЛИЧИЕ — две взаимосвязанные категории философии и логики. При определении понятий Т. и Р. используют два фундаментальных принципа: принцип индивидуации и принцип тождества неразличимых. Новейший философский словарь
  18. тождество — ТОЖДЕСТВО, а и ТОЖЕСТВО, а, ср. 1. Полное сходство, совпадение. Т. взглядов. 2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. | прил. тождественный, ая, ое и тожественный, ая, ое (к 1 знач.). Тождественные алгебраические выражения. Толковый словарь Ожегова
  19. тождество — Заимств. из ст.-сл. яз., где оно является суф. производным от тожде, сложения то (см. тот) и жде (см. же). Ср. тоже. Этимологический словарь Шанского
  20. тождество — Соответствие звуков, морфем, слов и словосочетаний, имеющих общее происхождение. Генетическое тождество часто не представляет собой материального и семантического совпадения. Словарь лингвистических терминов Жеребило
  21. Тождество — (идентичность) предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. В теории криминалистической идентификации термин… Криминалистическая энциклопедия

gufo.me

Знак тождества в математике

Тождественность в математике — очень часто используемое понятие. Различают понятия тождественных равенств, тождественных выражений и тождественных преобразований, давайте более подробно разберём, что значит каждое из этих понятий.

Тождественные выражения в математике

Рассмотрим три простых алгебраических выражения:

  • $5x + 10$;
  • $(x + 2) \cdot 5$
  • $\frac{20x + 40}{4}$

Вне зависимости от используемых значений $x$, все три выражения между собой равны.

Для того чтобы доказать это, используем элементарные преобразования, разрешаемые в математике, и получим, что $5x + 10 = 5x + 10 = 5x + 10$, то есть все три выражения равны между собой. При упрощении становится очевидно, что вне зависимости от выбранного $x$ эти выражения всегда будут равны.

Мы подходим непосредственно к определению тождественных выражений:

Определение 1

Выражения называются тождественными друг с другом, если при любых значениях переменных они всегда равны между собой.

Например, можно сказать, что выражение $5x + 10$ тождественно выражениям $(x + 2) \cdot 5$ и $\frac{20x + 40}{4}$.

Стоит также обратить внимание на то, что не всегда выражения тождественны для всех возможных значений переменных, например, выражения $\frac{y^2-4}{y-2}$ и $y+2$ тождественны для любых $y$, кроме $y=2$.

При значении игрека, равному двум, первое из этих двух выражений теряет смысл, так как на нуль делить нельзя, а в знаменателе при этом значении получается нуль.

Данные выражения можно назвать тождественными при всех допустимых значениях переменной $y$, то есть эти выражения тождественны при всех $y$, при которых оба выражения не потеряют свой смысл. Такие выражения называются тождественными на заданном множестве значений.

Понятия «тождество» и «тождественное равенство»

Что же такое тождество в алгебре?

Определение 2

Тождество в математике — это равенство, которое всегда выполняется или, иными словами, является справедливым для всех множеств значений его переменных.

Если два и более тождественных выражения записать непосредственно рядом друг с другом через знак «равно» — то получится тождественное равенство, то есть тождество.

К тожественным равенствам относятся переместительный закон сложения $a+b =b + a$ и сочетательный закон умножения $(ab) \cdot c = a \cdot (bc)$, так как они являются верными вне зависимости от значения переменных $a, b, c$. Формулы для сокращённой записи разности квадратов, квадратов разности и квадратов суммы являются другими примерами тождественных равенств.

Иногда тождествами называются не только выражения, содержащие какие-либо переменные, но и все арифметически верные равенства типа $2+2=4$.

Не любое равенство, содержащее переменные, можно назвать тождеством. Например, равенство $y+5 = 7$ соблюдается только при $y= 2$, при каком-либо другом значении $y$ оно не соблюдается и поэтому тождеством его назвать нельзя.

Знак тождества в математике

Определение 3

Чаще всего тождества записывают через знак «равно» — «$=$», знак «тождественно» — «≡» иногда используют для особого выделения в речи тождественности какого-либо равенства. Обычно знак тождества используется значительно реже, чем знак равенства.

Тождественные преобразования

Очень часто для того чтобы упростить процесс вычисления каких-либо выражений, а также для их сравнения и более удобной подстановки переменных в равенства используют различные математические преобразования. Эти преобразования называются тождественными преобразованиями, так как они не изменяют конечные значения выражений и равенств.

Определение 4

Тождественные преобразования — это преобразования и замены одного выражения другим, тождественным ему, не изменяющие конечное значение выражений и не приводящие к нарушению тождественности равенств.

Любое выражение при любых допустимых значениях переменных, используемых в нём, принимает какое-либо значение. Из этого можно сделать вывод, что применение различных законов, соблюдающихся для арифметических действий приводит к преобразованию исходного выражение в новое, тождественное первоначальному выражению.

Пример 1

Какие выражения тождественны?

  1. $(10 + 3)$ и $13 \cdot (1 +5)$.
  2. $(x^2 + y^2)$ и $(x – y)(x+y)$.
  3. $8$ и $(2 \cdot 3 + 16 – 14)$.
  4. $7 + 4$ и $6 + 6$.

Ответ:

Тождественными являются выражения под номером 2 и 3, в случае выражений под номером 2 слева дана сокращённая формула разности квадратов, а справа — развёрнутая. В случае третьего выражения нужно упростить выражение справа:

$(2 \cdot 3 + 16 – 14)= 6 + 16 – 14 = 8$

$8=8$.

spravochnick.ru

Что такое тождество в математике?

Тождество — математическая тема, которая кажется очень простой, но на деле нередко вызывает затруднения. Дело в том, что понятие тождественности очень тесно связано с понятием равенства и отчасти с ним пересекается. Однако тождество и равенство вовсе не аналогичны друг другу — и бывает трудно уловить, где одно, а где другое.

Чтобы понять разницу, для начала необходимо разобраться в терминологии.

Тождество и его отличия от равенства

Учебники определяют тождество так — этим словом называют выражения со знаком равенства, которые остаются верны, какие бы значения ни принимали переменные. Иными словами, тождество глобально и постоянно.

Из определения следует несколько важных моментов.

  • Любое тождество одновременно является и равенством в частном случае — поскольку его члены всегда равны между собой.
  • Любое равенство, состоящее только из чисел, одновременно является тождеством — поскольку числа ни при каких условиях не перестанут быть равны.
  • При этом равенство, содержащее не только числа, но и переменные, вовсе не обязательно окажется тождеством. Ведь переменные могут принимать разные значения — и при каких-то из них принцип равенства сохранится, а при других окажется нарушен. Если нарушение равенства теоретически возможно, то тождеством данное выражение уже не является.

Приведем несколько примеров.

  • Числовая запись «3 = 3» является и тождеством, и равенством одновременно. Число «3» будет равно самому себе и в частном, и в глобальном случае — не существует условий, при которых такое утверждение стало бы неверным.
  • Числовая запись «3 + 3 = 6» также будет являться одновременно равенством и тождеством. В сумме два числа «3» всегда дадут «6». То же самое касается более сложных выражений, например «3 + 5 = 8». Здесь можно переставить местами слагаемые — «5 + 3 = 8». Равенство все равно сохранится — а значит, и останутся основания утверждать, что выражения тождественны.
  • А вот запись с переменными, например, а + 2с = с + 2а, тождественной уже не будет. Дело в том, что можно подобрать определенные значения для «а» и «с», при которых приведенное равенство будет верным. Но при других значениях равенство нарушится — и это будет противоречить принципу тождественности.

В математике существуют простые и довольно сложные тождества. Но приведенные определения и правила едины для всех них. Что касается алгебраической записи, то знак тождества очень похож на значок «равно», или «=». Но состоит он не из двух, а из трех горизонтальных черточек.

infoogle.ru

Тождество. Тождественные выражения, преобразования

Тождество – это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

x(5 + x)   и   5x + x2

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

20 — 8   и   10 + 2

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество – это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

(a + b)m = am + bm
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Числовое тождество – это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 · (4 + 6) = 50

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

10x — 7x + 3x = (10 — 7 + 3)x = 6x

Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.

naobumium.info

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *