Что такое симплекс: Симплекс — это… Что такое Симплекс?

Соединения WiFi работает в полудуплексном режиме, а проводная часть локальной сети в полном дуплексе. Узнайте больше прочитав эту статью.

В сети термин «дуплекс» означает возможность для двух точек или устройств связываться друг с другом в оба направления, в отличие от «симплекса», который относится к однонаправленной коммуникации. В системе дуплексной связи, обе точки (устройства) могут передавать и получать информацию. Примерами дуплексных систем являются телефоны и рации.

С другой стороны, в симплекс системе одно устройство передает информацию, а другое получает. Пульт дистанционного управления является примером системы симплекс, где пульт дистанционного управления передает сигналы, но не получает их в ответ.

Полная дуплексная связь между двумя компонентами означает, что оба могут передавать и получать информацию друг другу одновременно. Телефоны являются полными дуплексными системами, так как обе стороны могут говорить и слушать одновременно.

В полудуплексных системах передача и прием информации должны происходить поочередно. Во время передачи одной точки, остальные должны только получать. Рации являются полудуплексными системами, в конце передачи участник должен сказать «Прием», это означает, что он готов получать информацию.

WiFi роутеры (маршрутизаторы) — это устройства, которые модулируют и планируют потоки информации из и от любого WiFi-совместимого электронного устройства (например, ноутбук или смартфон) к сети Интернет, используя определенный стандарт или протокол, называемый IEEE 802.11, который работает в полудуплексном режиме. WiFi это только торговая марка для определенного стандарта IEEE.

WiFi устройства подключаются к маршрутизатору с помощью радиоволн частотой 2,4 ГГц или 5 ГГц. Маршрутизатор гарантирует правильное распределение информационных потоков между подключенным устройством и Интернетом; с помощью процесса вызова с временным разделением каналов (TDD) который работает в режиме полного дуплекса.

TDD эмулирует полную дуплексную связь путем создания или деления периодов времени, которые чередуются между передачей и приемом. Пакеты данных идут в обоих направлениях, как продиктовано расписанием. Путем точного разбития этих периодов времени, подключенные устройства, могут осуществлять передачу и прием одновременно.

Самой большой проблемой для достижения полнодуплексного контроля над радиосвязью являются внутрисистемные помехи. Это помехи или шум более интенсивный, чем сам сигнал. Проще говоря, помехи в полнодуплексной системе возникают тогда, когда одна точка осуществляет передачу и прием одновременно, и также получает свою собственную передачу, следовательно, происходит само-интерференция.

Практически полнодуплексная беспроводная связь возможна в сферах исследований и научных сообществах. Во многом это достигается за счет устранения собственных помех на двух уровнях. Первый способ-инверсия самого шумового сигнала и тогда процесс шумоподавления дополнительно усиливается в цифровом виде.

Проводная часть локальной сети обменивается данными в режиме полного дуплекса с помощюю двух пар крученных проводов, образующих кабельное подключение Ethernet. Каждая пара предназначена для передачи и приема пакетов информации одновременно, поэтому нет столкновения данных и передача осуществляется без помех.

В рамках протокола IEEE 802.11, были внесены изменения для достижения лучшего диапазона или лучшей пропускной способности, или то и другое. От своего основания в 1997 году до 2016, беспроводные стандарты были скорректированы от 802.11, 802.11b/a, 802.11g, 802.11n, 802.11ac, и наконец последний 802.22. Какими бы прогрессивными они ни стали, они по-прежнему принадлежат семье 802, который будет постоянно работать в режиме полудуплекса. Хотя были сделаны многие улучшения, особенно с включением технологии MIMO, работа в полудуплексном режиме снижает общую спектральную эффективность в два раза.

Интересно отметить, что MIMO поддерживаемая маршрутизаторами (со многими входами и многими выходами) рекламирует гораздо более высокие скорости передачи данных. Эти маршрутизаторы используют несколько антенн для передачи и приема одновременно нескольких потоков данных, которые могут увеличить общую скорость передачи. Это часто встречается и в маршрутизаторах 802.11 N, которые рекламируют скорости от 600 мегабит в секунду и выше. Однако, так как они работают в полудуплексном режиме, 50 процентов (300 мегабит в секунду) пропускная способность резервируется для передачи в то время как другие 50 процентов используют для получения.

К полнодуплексной беспроводной связи растет все больший коммерческий интерес. Основная причина, состоит в том, что прогресс в полудуплексном FDD и TDD не насыщен. Усовершенствования программного обеспечения, модуляции достижений и улучшений технологии MIMO становятся все сложнее и сложнее. Поскольку все больше новых устройств имеют беспроводное подключение, необходимость повышения эффективности использования спектра в конечном итоге имеет первостепенное значение. Появление полнодуплексной беспроводной связи мгновенно удвоит спектральную эффективность.

Читайте также

Подробный разбор симплекс-метода / Хабр

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание: Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

1. Неравенства с отрицательными умножаем на (-1).
2. Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
3. Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
4. Делаем замену переменных:

Будем нумеровать

по номеру неравенства, в которое мы его добавили.

Замечание: ≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Точка

называется угловой точкой, если представление

возможно только при

.

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит (т.е. – не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение: Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m < n). Разделим переменные на два множества: (n-m) переменные положим равными нулю, а остальные m переменных определяются решением системы исходных уравнений. Если это решение единственно, то тогда ненулевые m переменных называют базисными; нулевые (n-m) переменных – свободными (небазисными), а соответствующие результирующие значения переменных называют базисным решением.

§4. Симплекс-метод

Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение, избегая простой перебор всех возможных угловых точек. Основной принцип метода: вычисления начинаются с какого-то «стартового» базисного решения, а затем ведется поиск решений, «улучшающих» значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-то переменной приведет к увеличению значения функционала.

Необходимые условия для применения симплекс-метода:

1. Задача должна иметь каноническую форму.
2. У задачи должен быть явно выделенный базис.

Явно выделенным базисом будем называть вектора вида:

, т.е. только одна координата вектора ненулевая и равна 1.

Замечание: Базисный вектор имеет размерность (m*1), где m – количество уравнений в системе ограничений.

Для удобства вычислений и наглядности обычно пользуются симплекс-таблицами:

• В первой строке указывают «наименование» всех переменных.
• В первом столбце указывают номера базисных переменных, а в последней ячейке – букву Z (это строка функционала).
• В «середине таблицы» указывают коэффициенты матрицы ограничений — aij.
• Последний столбец – вектор правых частей соответствующих уравнений системы ограничений.
• Крайняя правая ячейка – значение целевой функции. На первой итерации ее полагают равной 0.

Базис – переменные, коэффициенты в матрице ограничений при которых образуют базисные вектора.

Замечание: Если ограничения в исходной задаче представлены неравенствами вида ≤, то при приведении задачи к канонической форме, введенные дополнительные переменные образуют начальное базисное решение.

Замечание:

Алгоритм симплекс-метода:

1. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Это делается в соответствии с указанным ранее принципом: мы должны выбрать переменную, возрастание которой приведет к росту функционала. Выбор происходит по следующему правилу:

• Если задача на минимум – выбираем максимальный положительный элемент в последней строке.
• Если задача на максимум – выбираем минимальный отрицательный.

Такой выбор, действительно, соответствует упомянутому выше принципу: если задача на минимум, то чем большее число вычитаем – тем быстрее убывает функционал; для максимума наоборот – чем большее число добавляем, тем быстрее функционал растет.

Замечание: Хотя мы и берем минимальное отрицательное число в задаче на максимум, этот коэффициент показывает направление роста функционала, т.к. строка функционала в симплекс-таблице взята со знаком “-”. Аналогичная ситуация с минимизацией.

Определение: Столбец симплекс-таблицы, отвечающий выбранному коэффициенту, называется ведущим столбцом.

2. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Для этого нужно определить, какая из базисных переменных быстрее всего обратится в нуль при росте новой базисной переменной. Алгебраически это делается так:

• Вектор правых частей почленно делится на ведущий столбец
• Среди полученных значений выбирают минимальное положительное (отрицательные и нулевые ответы не рассматривают)

Такая строка называется

и отвечает переменной, которую нужно вывести из базиса.

Замечание: Фактически, мы выражаем старые базисные переменные из каждого уравнения системы ограничений через остальные переменные и смотрим, в каком уравнении возрастание новой базисной переменной быстрее всего даст 0. Попадание в такую ситуацию означает, что мы «наткнулись» на новую вершину. Именно поэтому нулевые и отрицательные элементы не рассматриваются, т.к. получение такого результата означает, что выбор такой новой базисной переменной будет уводить нас из области, вне которой решений не существует.

3. Ищем элемент, стоящий на пересечении ведущих строки и столбца.

Определение: Такой элемент называется ведущим элементом.

4. Вместо исключаемой переменной в первом столбце (с названиями базисных переменных) записываем название переменной, которую мы вводим в базис.

5. Далее начинается процесс вычисления нового базисного решения. Он происходит с помощью метода Жордана-Гаусса.

• Новая Ведущая строка = Старая ведущая строка / Ведущий элемент
• Новая строка = Новая строка – Коэффициент строки в ведущем столбце * Новая Ведущая строка

Преобразование такого вида направлено на введение выбранной переменной в базис, т.е. представление ведущего столбца в виде базисного вектора.

6. После этого проверяем условие оптимальности. Если полученное решение неоптимально – повторяем весь процесс снова.

§5. Интерпретация результата работы симплекс-метода

Условие оптимальности полученного решения:

• Если задача на максимум – в строке функционала нет отрицательных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала расти не будет).
• Если задача на минимум – в строке функционала нет положительных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала уменьшаться не будет).

Однако, стоит отметить, что заданный функционал может не и достигать максимума/минимума в заданной области. Алгебраический признак этого можно сформулировать следующим образом:

При выборе ведущей строки (исключаемой переменной) результат почленного деления вектора правых частей на ведущий столбец содержит только нулевые и отрицательные значения.

Фактически, это значит, что какой бы рост мы не задавали новой базисной переменной, мы никогда не найдем новую вершину. А значит, наша функция не ограничена на множестве допустимых решений.

3. Альтернативные решения

При нахождении оптимального решения возможен еще один вариант – есть альтернативные решения (другая угловая точка, дающая то же самое значение функционала).

Алгебраический признак существования альтернативы:

После достижения оптимального решения имеются нулевые коэффициенты при свободных переменных в строке функционала.

Это значит, что при росте соответствующей переменной с нулевым коэффициентом значение функционала не изменится и новое базисное решение будет также давать оптимум функционала.

Эпилог

Данная статья направлена на более глубокое понимание теоретической части. В замечаниях и пояснениях здесь можно получить ответы на вопросы, которые обычно опускают при изучении этого метода и принимают априори. Однако, надо понимать, что многие методы численной оптимизации основаны на симплекс-методе (например,

,

) и без фундаментального понимания вряд ли получится сильно продвинуться в дальнейшем изучении и применении всех алгоритмов этого класса.

Чуть позже напишу статью о практической реализации симплекс-метода, а также несколько статей о Методе искусственных переменных (М-Метод), Методе Гомори и Методе ветвей и границ.

Спасибо за внимание!

P.S.

Если уже сейчас Вы мучаетесь с реализацией симплекс-метода, советую почитать книгу А. Таха Введение в исследование операций — там все неплохо разобрано и в теории, и на примерах; а также посмотрите примеры решения задач matburo.ru — это поможет с реализацией в коде.

Значение, Определение, Предложения . Что такое симплекс

это 📕 что такое СИМПЛЕКС

        (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный треугольник, а под одномерным — отрезок. Нульмерный С. есть просто одна точка.

         n-мерный С. имеет n + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому (n — 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом измерений n или больше), в котором лежит данный С. Обратно, всякие n + 1 точек евклидова n-мерного пространства R^m, m ≥ n, не лежащие ни в каком подпространстве менее n измерений, однозначно определяют n-mepный С.с вершинами в заданных точках e₀, e₁,…, e_n, он может быть определён как выпуклое замыкание совокупности заданных n + 1 точек, т. е. как пересечение всех выпуклых тел пространства R^m, содержащих эти точки. Если в пространстве R^m дана система декартовых координат x₁, х₂,..., х_т, в которой вершина e_i, i = 0, 1,…, n, имеет координаты x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…, x_m ⁽ⁱ⁾, то С. с вершинами e₀, e₁,…, e_m состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:

        , k = 1,2,…, m, где μ⁽⁰⁾, μ⁽¹⁾,…, μ⁽ⁿ⁾ — произвольные неотрицательные числа, дающие в сумме 1. По аналогии со случаем n ≤ З можно сказать, что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить произвольные неотрицательные массы (из которых по крайней мере одна отлична от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы — нулевые).

         Любые r + 1 вершин, 0 ≤ r ≤ n — 1, взятые из числа данных n + 1 вершин n-мерного С., определяют некоторый r-мерный С. — r-мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть его вершины, одномерные грани называются ребрами.

         Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

СИМПЛЕКС — Что такое СИМПЛЕКС?

Слово состоит из 8 букв: первая с, вторая и, третья м, четвёртая п, пятая л, шестая е, седьмая к, последняя с,

Слово симплекс английскими буквами(транслитом) — simpleks

Значения слова симплекс. Что такое симплекс?

Симплекс

Симплекс (от лат. simplex — простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр.

БСЭ. — 1969—1978

Симплекс [simplex] — выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости.

slovar-lopatnikov.ru

СИМПЛЕКС [simplex] — выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости.

Лопатников. — 2003

Саб симплекс

Саб симплекс Способ применения и дозы: Внутрь, во время или после еды и, при необходимости, перед сном. Перед применением следует активно встряхнуть флакон. Чтобы суспензия начала поступать из пипетки…

РЛС. — 2012

Саб симплексДействующее вещество ›› Симетикон* (Simethicone*) Латинское название Sab simplex АТХ:›› A02DA Ветрогонные препараты Фармакологическая группа…

Словарь медицинских препаратов. — 2005

САБ® СИМПЛЕКС (SAB® SIMPLEX) Суспензия для приема внутрь от белого до серо-белого цвета, слегка вязкая, с характерным фруктовым (ванильно-малиновым) запахом. 100 мл симетикон 6.919 г…

Справочник лекарственных препаратов «Видаль»

ШОКЕ СИМПЛЕКС

ШОКЕ СИМПЛЕКС — непустое компактное выпуклое множество Xв локально выпуклом пространстве E, обладающее следующим свойством: при вложении Ев качестве гиперплоскости в пространство проектирующий конус.

Математическая энциклопедия. — 1977-1985

Шеффилд-Симплекс

«Шеффилд-Симплекс» (англ. Sheffield-Simplex) — лёгкий пулемётный бронеавтомобиль Вооружённых сил Российской империи. Разработан британской фирмой «Sheffield-Simplex» на базе шасси собственного легкового автомобиля…

ru.wikipedia.org

Нордитропин Симплекс

Нордитропин Симплекс Показания: Задержка роста у детей вследствие недостаточности гормона роста или хронической почечной недостаточности (в препубертатном возрасте), синдрома Шерешевского — Тернера…

РЛС. — 2012

НОРДИТРОПИН® СИМПЛЕКС® (NORDITROPIN SimpleXx) Раствор для п/к введения 1.5 мл (1 картридж) соматропин 10 мг 1.5 мл — картриджи (1) — упаковки ячейковые контурные (1) — пачки картонные.

Справочник лекарственных препаратов «Видаль»

СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС

СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС — 1) С. с.- симплекс размерности пв пространстве с вершинами в точках е i=(0,…, 1,…, 0), i=0,…, п(единица стоит на i-м месте), т. е.

Математическая энциклопедия. — 1977-1985

Двойственный симплекс-метод

Двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами. В обычном симплексном алгоритме план всегда должен быть допустимым.

ru.wikipedia.org

Русский язык

Си́мпле́кс/.

Морфемно-орфографический словарь. — 2002

1. симпатяга
2. симпласт
3. симплексный
4. симплекс
5. симплока
6. симподий
7. симпозиум

Что такое симплекс связь?

Симплексная связь — это форма радиоволновой или электронной системы связи, которая позволяет передавать только один сигнал за раз или принимать один сигнал за раз. В ранних формах коротковолновых радиоприемников и телефонов, используемых военными, а также в гражданских (CB) радиоприемниках, применяемых на седельных тягачах с полуприцепами в США и других странах, использовались принципы симплексной связи. Несмотря на то, что эта технология устарела в современных радиопередатчиках с 2011 года, а также в телефонах, которые обеспечивают полнодуплексную или двустороннюю одновременную связь, она все еще используется в других современных формах технологии.

Схемы связи часто ограничены способностью преобразователя обрабатывать радиоволны в аналоговые или цифровые сигналы, которые содержат аудиоинформацию для слушателя или говорящего. В тех случаях, когда ранние радиостанции могли обрабатывать только один канал связи одновременно, портативная двусторонняя радиосвязь и технология сотовых телефонов по состоянию на 2011 год способны обрабатывать несколько каналов одновременно. Более правильным термином для симплексной связи, который используется для отличия его от выделенных симплексных систем, является полудуплексная связь. Полудуплексная система — это система, которая может передавать и принимать сигналы, но не одновременно, например радиостанция CB. Однако настоящее симплексное устройство — это нечто вроде компьютерной клавиатуры, которая передает данные в микропроцессор компьютера, но не имеет возможности получать данные обратно от самого компьютера.

Симплексная схема все еще используется во многих передовых технологиях просто потому, что нет необходимости в дуплексном уровне схемы. Примеры этого включают ракеты с автоматическим управлением, которые получают инструкции по запуску с корабля или самолета, такого как крылатая ракета Томагавк первого поколения, развернутая США и Великобританией с 2011 года. Хотя первое поколение ракеты можно перепрограммировать в полете, изначально у него не было возможности реагировать на эту форму симплексной связи. Четвертое поколение ракеты, Томагавк Блок IV, также может получать обновления для целей одностороннего наведения на картах, хранящихся в его бортовой памяти во время полета. Однако отличия четвертого поколения ракеты заключаются в том, что она может сбрасывать свои собственные системы инерциального наведения с помощью двусторонней спутниковой связи, находясь на пути к цели, что дает ей возможность автономной дуплексной связи на машинном уровне.

Другие распространенные формы симплексной связи, для которых необходима только односторонняя передача сигнала, включают трансляции телевизионных и радиопрограмм или потоковую передачу и распространение аудио- и видеопрезентаций в Интернете. Ранние компьютерные принтеры также не имели возможности общаться с компьютером после получения задания на печать, а также были формой симплексной связи. Многие обычные электронные схемы можно рассматривать как форму симплексной технологии, в которой у приемника нет необходимости или времени для электронного ответа на входной сигнал, и это включает в себя системы, на которые люди полагаются каждый день, такие как сигналы трафика на пересечения дорог.

ДРУГИЕ ЯЗЫКИ

19) Что такое симплекс и дуплекс передача?

Симплекс (Simplex) — режим передачи данных, при котором передача ведется только в одном направлении по общему каналу связи. Передача в обратном направлении физически невозможна. Такой способ передачи данных используется для передачи сигнала по тв или радио. В этом случае используется один передатчик и много приемников, объединенных общим каналом связи. При таком режиме конфликт передачи может возникнуть только если, к общему каналу связи будет подключено более одного передатчика.

Полудуплекс (Half Duplex) — режим передачи данных, при котором передача между устройствами ведется по общему каналу связи в любом направлении, но с разделением по времени. При таком режиме передачи данных каждое из устройств, подключенное к общему каналу связи должно быть способно попеременно принимать и передавать сигналы. При таком режиме передачи может возникнуть конфликт (коллизия), когда два и более устройства начнут одновременно передавать сигналы по общему каналу. При возникновении коллизии сигналы в канале связи перемешиваются, и другие устройства не способны воспринимать какой-либо из них по отдельности. Поэтому дальнейшая передача теряет смысл и информация должна быть отправлена заново, что существенно снижает производительность. Такой вид связи используется в основном при обмене информации некоторого количества устройств по общему каналу связи.

Полный дуплекс (Full Duplex) — режим передачи данных, при котором передача данных может вестись одновременно в двух направлениях по разным подканалам связи. Такой режим преимущественно используется для передачи между двумя устройствами, так как в этом случае не может возникнуть конфликтов передачи. Если же попытаться реализовать такой режим передачи между тремя устройствами и более, то при одновременной передачи информации какому-либо одному устройству другими произойдет конфликт. Таким образом, главное преимущество дуплекса (отсутствие коллизий) будет утеряно.

27)Опишите функции репитера(хаба) в сети.

Сигнал, проходя по кабельной системе, искажается под действием различных помех и затухает, из-за чего ограничивается дальность передачи данных. Поэтому в сетях применяют устройства, предназначенные для усиления сигнала и восстановления его формы. Такое устройство называется хаб (hub). запоминает значения сигнала ≪0≫ или ≪1≫, соответствующим образом их регенерирует, усиливает и отправляет во все присоединенные сегменты сети. Эти функции должны выполняться на пути от источника до получателя столько раз, сколько необходимо для обеспечения требуемого качества передачи. На практике, ввиду ограничения числа сегментов сети число хабов ограничивается. Например, в версиях lOBase Ethernet на коаксиальном кабеле число хабов не должно превышать четырех (5 сегментов сети).

Что такое симплекс вероятности? — Локальный максимум

Симплекс вероятности представляет собой математическое пространство, в котором каждая точка представляет распределение вероятностей между конечным числом взаимоисключающих событий. Каждое событие часто называют категорией*, и мы обычно используем переменную K для обозначения количества категорий.

Точка на вероятностном симплексе может быть представлена ​​K неотрицательными числами, которые в сумме дают 1. Вот несколько примеров:

Точка на симплексе, где K=2: (0.6, 0,4)
Точка в симплексе, где K=3: (0,1, 0,1, 0,8)
Точка в симплексе, где K=6: (0,05, 0,2, 0,15, 0,1, 0,3, 0,2)

Когда К=2 это пространство является линией, при К=3 — треугольником, а при К=4 — тетраэдром. В каждом случае симплекс представляет собой (K-1) размерный объект. (Требование, чтобы сумма чисел равнялась 1, уменьшает размерность на 1)**.

Симплекс вероятности очень распространен в байесовском выводе. Например, предположим, что мы выбираем между гипотезами A, B и C, таким образом, наше пространство из гипотез составляет {A, B, C}.Наше убеждение об относительной вероятности истинности A, B или C падает на симплекс вероятностей, где K=3.

Каждый «угол» или «вершина» вероятностного симплекса представляет случай, когда вся вероятность помещается в одну категорию. Так, например, в приведенном выше случае с пространством гипотез {A, B, C} точка {A=0, B=1, C=0} представляет убеждение со всей вероятностью, помещенное в B.

Если одна гипотеза считается невозможным, вероятности других гипотез K-1 в сумме равны 1, и, следовательно, эта «граница» K-симплекса на самом деле является симплексом K-1.

В теории игр « смешанная стратегия» среди K различных потенциальных действий агента живет на K-симплексе.

Когда K=0, симплекс состоит из точек без координат, сумма которых равна единице. сумма всегда равна нулю, и, следовательно, такого объекта не существует. Следовательно, 0-симплекс — это пустое пространство .

Когда K=1, симплекс состоит из точек с 1 координатой, которая в сумме равна единице. возможное значение, которое это может иметь, равно (1) — и, следовательно, эквивалентно 1 точке или единицам пространства .В выводе это тот случай, когда существует только одна рабочая гипотеза, и поэтому наблюдатель вынужден полностью полагаться на эту одну гипотезу.

Когда K=2, симплекс — это просто точка на единичном интервале [0, 1], где первая координата p — это положение точки на этом интервале, а вторая координата (1-p) — это длина, которую нужно завершить интервал. Точка на 2-симплексе — это просто вероятность. Это также называется распределением Бернулли и используется для статистического вывода по бинарным вопросам или вопросам «да-нет».

Сноски

*не путать со специальным математическим значением категории в теории категорий, но с точки зрения категориального распределения

**В некоторых трактовках это называется 2-симплексом вместо 3-симплекса, потому что это 2 мерный. Я предпочитаю называть его 3-симплексом, потому что он встроен в 3-мерное пространство и также использует 3 числа для его представления (хотя 2 из этих чисел было бы достаточно, чтобы найти 3-е).

симплекс

Контекст

Гомотопическая теория

теория гомотопий, теория (∞,1)-категорий, теория гомотопических типов

вкуса: устойчивый, эквивариантный, рациональный, р-адический, правильный, геометрический, связный, направленный…

модели: топологические, симплициальные, локальные, …

см. также алгебраическая топология

Введение

Определения

Пути и цилиндры

Гомотопические группы

Основные факты

Теоремы

Идея

Ячеистый симплекс является одной из основных геометрических форм для более высоких сооружений.Варианты одного и того же «архетипа формы» существуют в нескольких контекстах, например, в симплициальном множестве, топологическом/клеточном, категориальном контексте и других.

Определения

Симплициальные симплексы

Для n∈ℕn \in \mathbb{N} стандартным симплициальным nn-симплексом Δ[n]\Delta[n] является симплициальное множество, представленное (в виде предпучка) объектом [n][n ] в категории симплексов, поэтому ∆[n]=∆(−,[n])\Delta[n]= \Delta(-,[n]).

Сотовая (симплексная) симплексная

Точно так же существует стандартный топологический nn-симплекс, который является (более или менее по определению) геометрической реализацией стандартного симплициального nn-симплекса.{n+1}

для топологического nn-симплекса в представлении барицентрических координат, опр.п, х)

для множества особых nn-симплексов XX.

Поскольку nn меняется, это образует особый симплициальный комплекс XX.

Свойства

Отношение к глобусам

Восточные люди связывают симплексы с глобусами.

дискретная геометрия — Определение симплекса

Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 179 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

1. 0
2. +0
7. Войти
8. Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация занимает всего минуту.

Любой может задать вопрос

Любой может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину

спросил 10 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

Из Википедии:

n-симплекс является n-мерным многогранник, являющийся выпуклой оболочкой его n + 1 вершина.{n}$) — это частный случай выпуклого многогранника, а именно такой, у которого ровно $n+1$ экстремальных точек (выпуклая оболочка $n+1$ точек в общем случае позиции, то есть они не лежат в $(n-1)$-мерном аффинном подпространстве).Примером выпуклого многогранника, не являющегося симплексом, может служить любое из платоновых тел, кроме тетраэдра.

Да, есть более общие понятия симплексов. Например, в геодезическом метрическом пространстве имеет смысл говорить о выпуклых оболочках. Тогда в гиперболическом $n$-пространстве или на $n$-мерной сфере можно определить гиперболический или сферический симплекс как выпуклую оболочку $(n+1)$ точек, не лежащих в вполне геодезическом подмногообразии (и которые не слишком далеко друг от друга в случае сферы).

ответ дан 1 мая 2011 в 16:42

т.б.т.б.

73.9k88 золотых знаков251251 серебряный знак332332 бронзовых знака

$\endgroup$ 5 $\begingroup$

Определение немного неясно.n$, хотя некоторые говорят об абстрактных симплексах в смысле абстрактных симплициальных комплексов.

ответ дан 1 мая 2011 в 16:37

Цяочу ЮаньЦяочу Юань

358k4242 золотых знака767767 серебряных знаков11381138 бронзовых знаков

$\endgroup$ 6 $\begingroup$

Я часто работаю над симплексами в $\mathbb{F}_q^d$ или других дискретных пространствах.Здесь, когда мы говорим $k$-симплекс, мы имеем в виду множество $(k+1)$-точек, покрывающих $k$-мерное подпространство. То есть для нас $k$-симплекс — это просто множество вершин.

ответ дан 1 мая 2011 в 17:19

JavaManJavaMan

12.6k22 золотых знака3636 серебряных знаков6161 бронзовый знак

$\endgroup$ 2 $\begingroup$

Нет, они не эквивалентны.Например, $n$-куб является выпуклым многогранником, но не симплексом.

ответ дан 1 мая 2011 в 16:37

Зев ЧонолесЗев Чонолес

124k1919 золотых знаков294294 серебряных знака498498 бронзовых знаков

$\endgroup$ 3

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой использования файлов cookie.

Принять все файлы cookie Настроить параметры

 

Математика за минуту: Симплексы – атомы топологии

3-симплекс, иначе известный как тетраэдр.Он имеет четыре грани, каждая из которых является 2-симплексом. Точно так же «грани» 2-симплекса (треугольника) являются 1-симплексами (отрезками). Таким образом, вы строите симплексы более высокой размерности из симплексов более низкой размерности.

Если вы любите треугольники так же сильно, как и мы, у нас есть отличные новости — вы можете иметь их в любом измерении, какое захотите!

Двумерные треугольники можно обобщить до 0 измерений, 1 измерения, 3 измерений или даже до любого количества измерений. Такое обобщение называется симплексом .0-симплекс – это точка, 1-симплекс – это отрезок, 2-симплекс – это треугольник, 3-симплекс – это тетраэдр, 4-симплекс – это пентатоп (четырехмерный объект, пять граней которого являются тетраэдрами). – не волнуйтесь, мы тоже не можем это визуализировать) и так далее. И эти симплексы используются для описания и понимания различных математических пространств.

Любое двумерное пространство или фигура могут быть построены из 2-симплексов (т. е. треугольников), и эти математические триангуляции придерживаются определенных правил: треугольники встречаются либо угол к углу, либо все ребро к целому ребру, и они никогда не разделяют более двух углы или один край.Это означает, что вы можете проследить линию ребер в вашей триангуляции, которая сама является триангуляцией одномерного пространства (линии).

Геодезическая сфера

Геодезическая сфера — это триангуляция двумерной поверхности сферы. Это правда, что своими плоскими поверхностями он не совсем похож на сферу, но в определенном математическом смысле они одинаковы.

Два объекта топологически одинаковы, если вы можете согнуть, растянуть или сжать один в другой, не разрезая и не разрывая объект.Классический пример: кофейная чашка топологически то же самое, что и пончик. Сделайте вмятину на одной стороне пончика, делая вмятину все больше и больше, пока она не станет напоминать кофейную чашку, а остальную часть пончика сожмите, чтобы она стала ручкой чашки. С другой стороны, чтобы превратить шар в пончик, нужно сделать дырку, что не допускается топологией. Таким образом, мяч и пончик (или кофейная чашка) топологически не совпадают.

изображения CGI начинаются как сетка из миллионов и миллионов заштрихованных треугольников.(Изображение от Headus, вы можете прочитать больше о математике, стоящей за этой работой, здесь.)

В этом топологическом смысле наш геодезический купол подобен сфере: вы просто сглаживаете кривую поверхность или выталкиваете плоские грани, чтобы преобразовать одну в другую, и все это совершенно законно в топологии. Точно так же мы можем триангулировать очень сложные поверхности, такие как кожа убийцы на изображении выше, или даже что-то более странное, например, одностороннюю ленту Мёбиуса.

Мы знаем, что можем триангулировать подавляющее большинство двумерных поверхностей благодаря математическим методам, разработанным за последнее столетие.Тибор Радо был венгерским солдатом, который начал изучать математику, когда попал в плен к русским во время Первой мировой войны. Его учил товарищ по заключению и математик-исследователь Эдуард Хелли. После побега Радо из сибирского лагеря для военнопленных, которому помогали юпики (коренные жители Сибири), когда он пробирался через арктические районы России, он стал профессиональным математиком. В 1925 году он показал, что можно триангулировать все двумерные поверхности, с которыми вы когда-либо сталкивались.

Триангуляции важны в истории топологии. Из триангуляции можно вычислить важную часть топологической информации о поверхности: ее эйлерову характеристику . Это число V — E + F , где V количество вершин (или 0-симплексов), E количество ребер (или 1-симплексов) и F равно количество граней (в случае триангуляции грани являются 2-симплексами).Если два объекта топологически одинаковы, то они также будут иметь одинаковую эйлерову характеристику.

Таким же образом вы можете исследовать многомерные пространства. Теорема, аналогичная результату Радо для двумерных поверхностей, гласит, что все трехмерные поверхности можно триангулировать с помощью 3-симплексов (тетраэдров). Эти триангуляции трехмерных поверхностей также имеют эквивалентную эйлерову характеристику: V — E + F — T , где T — количество тетраэдров в триангуляции.Отсюда видно, как можно обобщить эйлерову характеристику на любую размерность, поочередно добавляя и вычитая количество 0-симплексов (углов), 1-симплексов (ребер), 2-симплексов (граней), 3-симплексов и так далее.

Хотя две поверхности, которые топологически эквивалентны, имеют одинаковую эйлерову характеристику, одной и той же эйлеровой характеристики недостаточно, чтобы гарантировать, что две формы топологически одинаковы. Чтобы полностью определить топологию поверхности, вам нужно немного больше информации, например, является ли она односторонней, как лента Мёбиуса, или имеет ли она внутреннюю и внешнюю сторону, как сфера.

Подробнее о топологии на Plus , в том числе о ее зачатках в мостах Кёнигсберга можно прочитать . Вы также можете прочитать больше о характеристике Эйлера, о нашей любимой форме и узнать, в какие еще интересные места она может вас привести.

определение симплекса в The Free Dictionary

(Porphyrio simplex) был застрелен недалеко от вершины горы, и это, очевидно, был одинокий отставший от энцефалита. Герпесный энцефалит является наиболее распространенным типом энцефалита, наблюдаемым у пациентов как у детей, так и у взрослых, и это излечимое заболевание, но если его не лечить или отложить в диагноз, приводит к высокой заболеваемости и смертности.1 Следовательно, высокая степень подозрения и ранняя диагностика являются обязательными. Однако атипичная картина может быть причиной задержки диагностики и лечения и, следовательно, может привести к высокой заболеваемости и смертности. вариант лечения простого герпеса. 20 июня 2019 г. — базирующаяся в США частная инвестиционная компания T-street Capital, LLC сделала дополнительные инвестиции в свою портфельную компанию Simplex Infrastructure Solutions, LLC, чтобы завершить приобретение Dayton Superior’s Paving Division. , — заявила фирма.Это также свидетельствует о репутации клиентов Simplex, взаимодействии с Cisco и цифровых возможностях. Существует несколько опубликованных отчетов, в том числе о взаимосвязи между лечением изотретиноином и инфекциями простого герпеса 2–5. лечение 6-7. Лица с простым гипотрихозом имеют нормальное количество волос после рождения, но они начинают терять их в раннем детстве. Стандарты контроля качества Xerox.Ключевые слова: герпесный энцефалит, лимбический энцефалит, компьютерная томография, магнитно-резонансная томография, МР-спектроскопия. Партнерство объединяет опыт Simplex в реализации решений для торговли и управления рисками с опытом Beacon в создании платформ для торговли несколькими активами и управления рисками для лидеров отрасли, включая Goldman Sachs, JP. Морган и Банк Америки Меррилл Линч.

Что означает симплекс — Определение симплекса

Примеры употребления слова симплекс.

Теперь множественность, сконцентрированная таким образом, как Интеллектуальный Космос, близка к Первому — и разум удостоверяет его существование так же верно, как и существование души — и все же, хотя и обладает более высоким суверенитетом, чем душа, оно не есть Первое, поскольку оно не есть единство. , а не симплекс , как должно быть единство, принцип над всей множественностью.

Manhattan Simplex Распространение, но ходили слухи, что, используя Лу Поллера в качестве прикрытия, Лански помог погонщикам захватить Национальный банк Майами совсем недавно, в 1958 году.

Все должно быть сгруппировано под единством, которое, как стоящее вне всякой множественности и вне всякой обычной простоты, есть истинно и существенно симплекс .

Должны ли мы думать, что существо, познающее себя, должно содержать разнообразие, что самопознание может быть подтверждено только тогда, когда какая-то одна фаза самости воспринимает другие фазы, и что поэтому абсолютно симплексная сущность была бы в равной степени неспособна к интроверсии и к самосознание?

Можно также упомянуть, что существительные с корневыми формами на -m- (для -n в формах симплекса ), вероятно, по-прежнему будут показывать -n перед притяжательным окончанием -wa: более старые mw вышли как nw в квенья (см. VT41:5, Толкин получил существительное sanwë «мысль» от более старого sam-wê).

Наряду с обычными лабораторными запасами — агаром с лошадиной и овечьей кровью, шоколадным агаром, simplex , средой Сабурада — имелось тридцать диагностических сред, содержащих различные сахара и минералы.

Наряду с обычными лабораторными резервами — агар с лошадиной и овечьей кровью, шоколадный агар, simplex , Сабурад.

Используя пробу крови, взятую из тела Гэри Векласа, она методично загрязняла ряд питательных сред, желеобразных составов, наполненных питательными веществами, на которых обычно процветали бактерии: агар с лошадиной кровью, агар с овечьей кровью, simplex , шоколадный агар, и многие другие.

Herpes simplex типы вируса, вызывающие герпес и генитальный герпес.

Они использовали обычный вирус герпеса simplex Ia+, вызывающий герпес.

Ваш тест на герпес положительный простой первый тип, но отрицательный на моно-.

Я понимаю, что обсуждать детский насморк и герпес симплекс на одном дыхании немного… неуместно, скажем так, но здесь мы имеем дело с демоническим вирусом, который создает странных партнеров по постели, не говоря уже о том, что делает их странными. .

И ублюдок усугублял свое безумие тем, что прятался в дешевых недрах Мазатлана, как какой-нибудь полусумасшедший прокаженный, сошедший с грани после очередного изнурительного приступа нитчатых бородавок и поражений, вызванных герпесом Simplex .

Во всяком случае, герпес простой кератит, поразивший его в течение предыдущей недели, прошел.

Это была разновидность симплексной машины , которая печатала непосредственно на ленте, а не на страничном принтере.

Понимание формы данных

Часто бывает полезно знать, какую форму принимают ваши данные. Линейная регрессия — это один из примеров, когда вы хотите узнать, насколько хорошо ваши данные соответствуют прямой линии. Знание того, что ваши данные достаточно хорошо укладываются на прямую линию, дает вам преимущество для понимания ваших данных. Например, вы знаете, что ваши данные имеют линейную зависимость, и вы можете предсказать значение одной из переменных по значению другой.

Но, конечно, данные не всегда укладываются на прямую.

В большинстве случаев он принимает более сложную форму. Количество измерений может быть даже слишком большим, чтобы понять форму, которую принимают ваши данные, а методы уменьшения размерности могут даже не помочь. К счастью для нас, на нашей стороне есть топология. Но… что такое топология? и как это может нам помочь?

Что такое топология?

Топология (не топография, хотя может быть связана с ней) — раздел математики, изучающий свойства пространств, которые остаются инвариантными при непрерывных преобразованиях.Хорошо, возможно, это определение не очень многое проясняет, но позвольте мне расширить его. В Геометрия вас интересуют такие понятия, как расстояние, углы и т.д. В топологии вы изучаете те же самые объекты, что и в геометрии, но забывая о расстоянии. Точно так же, как в геометрии два куба одинакового размера, но один повернутый относительно другого, можно рассматривать как один и тот же объект, в топологии вы считаете куб и сферу одним и тем же объектом, поскольку вы можете непрерывно преобразовывать одно в другое, и вы можете постоянно отменять преобразование.В топологии вы можете растягивать, сжимать, сгибать или скручивать объект без изменения его топологической природы. Не допускается только склеивание или разрывание, так как их нельзя постоянно расстегивать. По этой причине иногда топологию называют «Геометрия резинового листа» .

Позвольте мне привести вам еще один пример, касающийся рождения топологии, который сделает концепцию более ясной. Топология родилась в 1736 году, когда Леонард Эйлер дал решение проблемы семи мостов Кенигсберга .Учитывая семь мостов города Кенигсберга (ныне Калининград), как показано на рисунке, задача состоит в том, чтобы найти маршрут через город, который будет пересекать все мосты ровно один раз.

Эйлер отметил, что длина мостов или конкретная форма реки не являются важными аспектами, которые следует учитывать при решении проблемы. Важно было только знать, какие точки соединяют мосты. Он сделал следующее представление:

Здесь каждая линия представляет каждый из семи мостов, а каждая точка представляет часть земли, не разделенную рекой.Вы могли бы нарисовать точки дальше друг от друга, как вы могли бы нарисовать линии многоугольным способом или более изогнутым способом, но информация, заключенная в этом представлении, совсем не изменилась бы. Топологически это останется тем же самым объектом. Используя это более простое представление, Эйлер нашел отрицательное решение проблемы.

Предыдущий рисунок может быть вам знаком как график. Это правильно. На самом деле графы — очень интересные объекты с топологической точки зрения, и, как мы только что видели, и Теория графов, и Топология родились в один день.

Эта задача показывает нам, что ключевыми понятиями, изучаемыми топологией, являются непрерывность и связь . Расстояния или углы больше не важны.

Итак… зачем использовать топологию?

Итак, теперь у нас есть представление о том, что такое топология. Но как это может помочь нам в понимании наших данных? Что ж, у топологии есть много свойств, которые делают ее очень полезной при изучении данных. Мы можем упомянуть следующее:

1. Координаты больше не являются предметом беспокойства, или, по крайней мере, они не представляют такой большой проблемы, поскольку они больше не будут влиять на изучаемые нами топологические особенности.
2. Изменения при небольших деформациях можно легко отследить с помощью топологии, поэтому с шумом можно справиться гораздо проще.
3. Благодаря топологии мы можем изучать объекты в упрощенном представлении, называемом симплициальными комплексами (которые мы введем позже), которые сохраняют топологические особенности, на которых мы хотим сосредоточиться.

Хорошо, звучит круто! Итак, как я могу начать применять топологию к своим данным? Ну, нам нужно ввести некоторые понятия, прежде чем.

Симплициальные комплексы

Симплициальные комплексы являются ключевой концепцией алгебраической топологии, то есть раздела топологии, который изучает топологические объекты через их алгебраические свойства, такие как группы гомотопии или гомологии.Если вы не знаете, что такое группа, вы можете взглянуть на эту ссылку. Все группы, которые мы будем использовать, являются абелевыми группами (группами, обладающими свойством коммутативности, которое мы все знаем из начальной школы), что значительно упрощает задачу. Позже мы введем группы гомологий.

Причина важности симплициальных комплексов заключается в том, что многие объекты, изучаемые в математике, могут быть сведены к симплициальным комплексам, сохраняющим гомологические группы объекта.

Так что же такое симплициальный комплекс?

Сначала определим, что такое симплекс:

• 0-симплекс — это точка.Его границей является пустое множество, т. е. оно не существует.
• 1-симплекс — это отрезок. Его граница состоит из двух точек.
• 2-симплекс — это треугольник. Его граница состоит из трех отрезков, каждый из которых имеет две точки в качестве границы.

Обобщив более высокие измерения, вы получите представление о том, что такое симплекс. Также видно, что граница симплекса состоит из объединения симплексов меньших размерностей, склеенных своими границами. Назовем каждый симплекс границы гранью.Обратите внимание, что граница n-симплекса содержит 0-грани (0-мерные грани), 1-грани (1-мерные грани), … и вплоть до (n-1)-граней.

Симплициальный комплекс — это объект, являющийся результатом объединения нескольких симплексов, такой, что:

1. Каждая грань симплекса, содержащаяся в симплициальном комплексе, также содержится в симплициальном комплексе.
2. Пересечение любых двух симплексов симплициального комплекса является гранью каждого из симплексов.

Размерность комплекса считается наибольшей из размерностей его симплексов.

Слева направо: 0-симплекс, 1-симплекс, 2-симплекс и 3-симплекс. Имейте в виду, что 3-симплекс справа не является пустым, так как все точки, окруженные 4 треугольными гранями, являются частью 3-симплекса.

По сути, вы образуете симплициальный комплекс, беря несколько симплексов и склеивая их по их границам таким образом, чтобы склеиваемые части были гранями каждого склеиваемого симплекса (и, следовательно, склеиваемые части должны иметь одинаковую размерность ).

Здесь у вас есть пример симплициального комплекса размерности 3 (вы можете видеть пирамиду в левом нижнем углу, которая является симплексом высшей размерности).

На этом рисунке видно, что фигура справа не является симплициальным комплексом, так как свойство 2 не выполнено: пересечение двух симплексов не является гранью каждой из них, а только частью грани.

Ранее мы упоминали о границах. Граница является ключевым понятием в топологии. Что происходит с границей, когда мы склеиваем вместе два симплекса? Вскоре мы дадим правильное определение, а пока взглянем на этот конкретный пример:

Граница объединения этих пяти 1-симплексов будет состоять из точек \(A_1\) и \(A_6\) .Точки, которые использовались для склейки, больше не являются частью границы, поскольку они как бы компенсируют друг друга.

 

Итак, теперь у нас есть границы и симплициальные комплексы. Давайте перейдем к следующему разделу, где мы определим, что такое симплициальные гомологии.

Симплициальная гомология

Начнем с определения того, что такое цепной комплекс.

Сначала, взяв все k -симплексов \(\sigma_i\) симплициального комплекса \(S\), зададим каждому из них ориентацию, а затем определим k – цепной комплекс   \(C_k\) из \(S\) как свободная абелева группа, порожденная всеми k- симплексами \(S\).N c_i \sigma _i, $$

, где \(c_i \)s — целые числа.

Отрицательный знак одного из  \(c_i\) может быть интерпретирован как придающий противоположную ориентацию k-симплексу, сопровождаемому \(c_i\).

Определим граничный оператор на цепных комплексах:

$$\partial_k: C_k\longrightarrow C_{k-1},$$

таким образом, граничный оператор переводит каждую k- цепь в (к-1)- цепочка .

Для k -цепи, состоящей только из одного k -симплекса, мы сначала получаем (k-1) -симплексов, которые образуют границу k -симплекса.Суммируем их, образуя (k-1)-цепь, где знаки каждого из (k-1)-симплексов будут заданы в соответствии с ориентацией, которую k -симплекс индуцирует на них. (см. рисунок ниже).

На этом рисунке треугольник представляет собой 2-симплекс, где ему назначена ориентация против часовой стрелки. Ориентация, заданная 1-симплексам его границы, показана стрелками. Затем, при нахождении границы этого 2-симплекса, поскольку ориентация стрелок соответствует ориентации против часовой стрелки, данной 2-симплексу, мы получим, что граница равна \(a + b + c\).Теперь представьте, что в начале мы указали стрелке \(a\) противоположное направление. Тогда, поскольку направление не будет совпадать с направлением, заданным 2-симплексной ориентацией, оно будет иметь отрицательный знак, а граница будет \(-a+b+c\). Это может показаться довольно громоздким, но это проще, чем кажется: вы можете придать симплексам любую ориентацию, которую хотите, при условии, что они придерживаются ее на протяжении всего последующего процесса, и пока вы достаточно внимательны со знаками при вычислении границы.N c_i \partial_k(\sigma_i).$$

Это называется групповым гомоморфизмом.

Помните, мы говорили, что при склеивании двух симплексов грани, используемые для склеивания, компенсируют друг друга? Это утверждение станет яснее на следующем примере:

На этом рисунке мы видим 2-симплексы \(A\) и \(B\), которые имеют общую грань \(a\) и точки \(P_0 \) и \(P_1\). Теперь, когда ориентация обоих 2-симплексов совпадает, мы можем придать смысл 2-цепочке \(A+B\).Это результат склейки \(A\) и \(B\) через грань \(a\). Если бы ориентации не совпадали, нам пришлось бы вычесть один из 2-симплексов из другого, чтобы получить склейку. В противном случае сумма была бы просто формальной суммой, как это было бы в случае, если бы симплексы не имели общих граней. Теперь давайте найдем границу для \(A+B\). Согласно формуле, которую мы видели ранее, эта граница является границей \(A\), суммированной с границей \(B\), то есть

$$\partial_2(A+B) = \partial_2(A) + \partial_2(B) =  (a+b+c) + (-a + d – e).$$

Подводя итог, получаем, что результирующая граница есть \(b + c + d – e,\), то есть 4 крайние грани после склейки \(A\) и \(B\), с знак, заданный ориентацией (фактический порядок слагаемых не имеет значения, так как мы находимся в абелевой группе, но ориентация важна, чтобы дать элементам на границе знак: обратите внимание на знак минус на \(e\) ).

Элементы, не имеющие границ, то есть элементы из \(Z_k = \ker \partial_k,\) называются циклами , а элементы из \(B_k = \text{Im}\partial_{k+1}, \), то есть элементы, являющиеся границами других элементов, называются, как вы уже догадались, границами .2 = 0,\), то есть если вы граница чего-то, то у вас нет границы. Или, другими словами, все границы являются циклами (попробуйте шаг за шагом вычислить границу границы \(A + B\), приведенную в предыдущем примере. Подсказка: границей \(b\) будет \(P_2 – P_1\), затем… ).

Теперь мы называем последовательность карт $$ C_n \overset{\partial_n}{\rightarrow}\cdots \overset{\partial_{k+1}}{\rightarrow}C_k \overset{\partial_k}{\rightarrow } C_{k-1}\overset{\partial_{k-1}}{\rightarrow}\cdots \overset{\partial_1}{\rightarrow} C_0 $$

Цепной комплекс симплициального комплекса S . Этот цепной комплекс всегда начинается в n -мерном цепном комплексе \(C_n\), где n  является размерностью S , так как в более высоких измерениях все цепи были бы нулевыми.

k -th группа гомологии из S определяется как фактор-абелева группа \(H_k(S) = Z_k(S)/B_k(S)\), то есть циклов по модулю границы.

Тогда k-я группа гомологии не будет 0 , когда имеется k -циклов, не являющихся границами.Если подумать, эти циклы, которые не являются границами, представляют собой k--х мерных отверстий на S .

k -th Число Бетти , определенное как \(\beta_k = \text{rank}(H_k(S))\), сообщает нам количество k -мерных отверстий в S . Когда k=0, число Бетти сообщает нам количество связанных компонентов в S .

Вот оно! Мы определили симплициальные группы гомологий.Теперь мы хотим применить их к нашим данным. Но данные обычно состоят из множества точек, распределенных в пространстве. Итак, где связь или преемственность между точками? Разве они не отделены друг от друга? Это просто большой 0-симплициальный комплекс, который нам нужно проанализировать? Не волнуйтесь, у Чеха есть ответы на все эти вопросы.

Комплекс Чеха

Итак, конечно, группа точек в пространстве (также называемая облаком точек ) не имеет топологической структуры как таковой.Нужно определить комплекс Чеха, чтобы выделить интересную структуру, связывающую точки. Я знаю, что говорил вам ранее, что в топологии мы забываем о расстоянии, но в этом случае расстояние между точками будет тем признаком, который связывает точки. Итак, как мы определяем этот комплекс Чеха по расстоянию между точками?

Сначала мы определяем шар с центром в каждой из точек. Возьмем параметр \(t>0,\), который будет описывать диаметр всех шаров. Так как \(t\) начинает расти, шары начинают расти.При пересечении двух шаров между двумя центрами образуется 1 -симплекс. При пересечении трех шаров между тремя центрами образуется симплекс 2 и так далее. Тогда ясно, что для каждого \(t>0\) у нас есть симплициальный комплекс \(C_t,\), который будет меняться при определенных значениях \(t\). Так формируется комплекс Чеха.

Пример комплекса Чеха: посмотрите, как всякий раз, когда пересекаются 2 шара, между центрами двух шаров образуется 1 -симплекс (отрезок), а всякий раз, когда пересекаются 3 шара, 2 -симплекс (треугольник) был сформирован.Если вы посмотрите в правый нижний угол, то увидите, что вот-вот произойдет пересечение 4 шаров. Когда это произойдет, из 4 вершин возникнет 3 -симплекс (пирамида).

Обратите внимание, что набор точек не обязательно должен лежать в определенном пространстве. Для построения комплекса Чеха достаточно иметь матрицу расстояний множества точек.

Теперь для каждого t, производящего комплексное изменение, мы можем получить группы гомологий и числа Бетти для \(C_t\). Мы называем это устойчивыми гомологиями облака точек, поскольку мы видим, насколько устойчивы топологические особенности для этого пространства.

Тогда ясно, что для каждой дырки у нас есть значения t, при которых дырка рождается или умирает, так как в конечном итоге при достаточно большом \(t\) все шары пересекутся, тем самым закрыв все дырки, которые может существовать. Таким образом, мы связываем каждую дыру с кортежем (рождение, смерть) . Мы можем представить это несколькими способами. Одним из них является стойкий штрих-код .  Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять этот штрих-код:

.

Ось X представляет параметр t, а каждый сегмент представляет срок службы отверстия.Затем мы видим, что отверстие номер 1 рождается при t=0,5 и умирает при t=0,55. Отверстие номер 2 рождается при t=0,75 и умирает при t=0,83 и так далее. Мы различаем размер отверстий по цветам их сегментов. В данном конкретном случае синий цвет представляет собой одномерные отверстия, а красный цвет представляет собой двумерные отверстия (полости). Мы видим, что некоторые дыры имеют более длительный срок жизни, чем другие, то есть они более устойчивы. Их можно рассматривать как реальные топологические особенности набора данных, тогда как дыры с коротким временем жизни (в данном случае дыры 1 и 2) можно считать продуктом шума.

Итак, вот оно! Мы увидели, как лучше понять форму ваших данных, извлекая из них топологическую информацию. Но одно дело теория, а другое дело применить ее на практике. За этим стоит много алгоритмической работы, которую мы не показали. К счастью для нас, он уже реализован. Например, у вас есть пакет TDA для R, Javaplex для Java или Topology Toolkit и Gudhi для C++, которые также можно использовать в Python.

No related posts.